Question de l'examen de STAT-D-103 / 1re session / 2010-2011
Une enquête menée auprès de 1 500 ménages d'une certaine région géographique rurale s'est intéressée à la variable
correspondant à la « taille du ménage », c'est-à-dire au nombre de personnes constituant le ménage. Les données recueillies ont permis de dessiner la courbe cumulative ci-dessous.
Question
Reconstituez, à partir de cette courbe cumulative, la distribution des effectifs qui lui correspond.
Taille du ménage
| Eff. cumulé
| Effectif
|
|---|---|---|
1 | 380 | 380 |
2 | 835 | 455 |
3 | 1080 | 245 |
4 | 1310 | 230 |
5 | 1410 | 100 |
6 | 1485 | 75 |
7 | 1495 | 10 |
8 | 1500 | 5 |
Total |
|
Question
Quelle est la taille modale des ménages ? Comment interprétez-vous ce mode (quelle information vous apporte-t-il) ?
La taille modale des ménages est la taille de ménage la plus fréquemment observée (celle à laquelle correspond le plus grand effectif) ; elle est égale à 2.
Question
Quelle est la taille moyenne des ménages ? Comment interprétez-vous cette moyenne (quelle information vous apporte-t-elle) ?
Taille du ménage
| Eff. cumulé
| Effectif
|
|
|---|---|---|---|
1 | 380 | 380 | 380 |
2 | 835 | 455 | 910 |
3 | 1 080 | 245 | 735 |
4 | 1 310 | 230 | 920 |
5 | 1 410 | 100 | 500 |
6 | 1 485 | 75 | 450 |
7 | 1 495 | 10 | 70 |
8 | 1 500 | 5 | 40 |
Total |
| 4 005 |
est le nombre de personnes que l'on aurait par ménage si l'on répartissait équitablement entre les
ménages l'ensemble des
personnes constituant ces ménages.
Question
Quelle est la taille médiane des ménages ? Comment interprétez-vous cette médiane (quelle information vous apporte-t-elle) ?
L'effectif cumulé théoriquement associé à la médiane est égal à
. Il s'ensuit que la taille médiane des ménages est égale à 2 (la plus petite valeur observée parmi celles dont l'effectif cumulé est supérieur ou égal à
). Ce résultat peut également être obtenu graphiquement à partir de la courbe cumulative des effectifs.
Ce résultat nous indique qu'un peu plus de la moitié des ménages (835 sur 1 500 ménages) sont constitués d'au plus 2 personnes.
Question
Dessinez la boîte à moustaches (version modifiée) associée à cette distribution observée.
Les trois quartiles :
;l'effectif cumulé théoriquement associé au premier quartile est égal à
; on a donc
;l'effectif cumulé théoriquement associé au troisième quartile est égal à
; on a donc
.
On a donc
.
Les valeurs pivots :
;
.
Les valeurs adjacentes (extrémités des moustaches) :
toutes les tailles de ménage observées sont supérieures à
; il s'ensuit que
est la plus petite taille de ménage observée :
;toutes les tailles de ménage observées sont inférieures à
; il s'ensuit que
est la plus grande taille de ménage observée :
.
Toutes les tailles de ménage observées étant comprises entre
et
, il n'y a pas de valeur extérieure.
La boîte à moustaches est présentée ci-dessous :
Question
Que pouvez-vous dire de l'asymétrie (ou de la symétrie) de cette distribution observée ?
Attention ! Ne faites aucun calcul supplémentaire pour répondre à cette question ; motivez votre réponse en vous basant sur les différents éléments que vous avez déjà déterminés pour répondre aux 5 questions précédentes.
La distribution observée présente une forte asymétrie gauche. En effet :
une grande majorité des ménages sont de taille inférieure ou égale à 4 (1 310 ménages sur 1 500) et le nombre de ménages diminue de plus en plus au fur et à mesure que la taille du ménage augmente ;
le mode et la médiane sont inférieures à la moyenne (cette dernière, contrairement à la médiane, est influencée par les quelques ménages de plus grandes tailles) ;
la boîte à moustaches montre une dispersion beaucoup plus importante à droite de la médiane qu'à gauche de celle-ci, non seulement au niveau de la boîte elle-même, mais également au niveau des moustaches (la moustache gauche est d'ailleurs de longueur nulle).
