Statistique descriptive univariée

Cours
Outils

Question de l'examen de STAT-D-103 / 1re session / 2006-2007

Suite à des travaux de modernisation sur la ligne ferroviaire Bruxelles-Liège, la SNCB a souhaité étudier l'évolution de la satisfaction de ses clients.

Pour ce faire, elle a notamment demandé à 20 navetteurs d'évaluer le temps de retard moyen (en minutes) avant et après l'exécution des travaux sur la voie. Les réponses obtenues sont synthétisées dans le tableau ci-dessous.

Temps de retard moyen (en minutes)	Avant les travaux		Après les travaux
Temps de retard moyen (en minutes)	Effectifs	Eff. cumulés	Effectifs	Eff. cumulés
2	0		2
3	1		3
4	1		5
5	0		5
6	1		3
7	0		1
8	0		0
9	0		0
10	0		0
11	0		1
12	2		0
13	5		0
14	3		0
15	1		0
16	1		0
17	1		0
18	0		0
19	1		0
20	1		0
21	1		0
22	1		0
Total	20		20

Vous pouvez télécharger le fichier de données en format Excel.

Retards à la SNCB sur la ligne Bruxelles-Liège

Question

Complétez le tableau ci-dessus en déterminant les effectifs cumulés.

Solution

Temps de retard moyen (en minutes)	Avant les travaux		Après les travaux
Temps de retard moyen (en minutes)	Effectifs	Eff. cumulés	Effectifs	Eff. cumulés
2	0	0	2	2
3	1	1	3	5
4	1	2	5	10
5	0	2	5	15
6	1	3	3	18
7	0	3	1	19
8	0	3	0	19
9	0	3	0	19
10	0	3	0	19
11	0	3	1	20
12	2	5	0
13	5	10	0
14	3	13	0
15	1	14	0
16	1	15	0
17	1	16	0
18	0	16	0
19	1	17	0
20	1	18	0
21	1	19	0
22	1	20	0
Total	20		20

Question

Calculez les quantiles suivants (selon la convention de votre choix) :

	Avant les travaux	Après les travaux

Solution

Recherchons la médiane . L'effectif cumulé théoriquement associé à la médiane est égal à 20/2=10.

Avant les travaux : 10 est l'effectif cumulé associé au retard de 13 minutes. Dès lors, selon la 1^re convention, le retard médian est égal à 13 minutes ; il est égal, selon la seconde convention, à (13+14)/2=13.5 minutes.
Après les travaux : 10 est l'effectif cumulé associé au retard de 4 minutes. Dès lors, selon la 1^re convention, le retard médian est égal à 4 minutes ; il est égal, selon la seconde convention, à (4+5)/2=4.5 minutes.

Les autres quantiles se déterminent selon la même procédure, sachant que les effectifs cumulés théoriquement associés à , à , à et à sont respectivement 20/4=5, 3x20/4=15, 20/10=2 et 9x20/10=18.

	Avant les travaux	Après les travaux
	1^re convention : 13 2^e convention : (13+14)/2=13.5	1^re convention : 4 2^e convention : (4+5)/2=4.5
	1^re convention : 12 2^e convention : (12+13)/2=12.5	1^re convention : 3 2^e convention : (3+4)/2=3.5
	1^re convention : 16 2^e convention : (16+17)/2=16.5	1^re convention : 5 2^e convention : (5+6)/2=5.5
	1^re convention : 4 2^e convention : (4+6)/2=5 !!!	1^re convention : 2 2^e convention : (2+3)/2=2.5
	1^re convention : 20 2^e convention : (20+21)/2=20.5	1^re convention : 6 2^e convention : (6+7)/2=6.5

Avant les travaux

Après les travaux

1^re convention : 13

2^e convention : (13+14)/2=13.5

1^re convention : 4

2^e convention : (4+5)/2=4.5

1^re convention : 12

2^e convention : (12+13)/2=12.5

1^re convention : 3

2^e convention : (3+4)/2=3.5

1^re convention : 16

2^e convention : (16+17)/2=16.5

1^re convention : 5

2^e convention : (5+6)/2=5.5

1^re convention : 4

2^e convention : (4+6)/2=5 !!!

1^re convention : 2

2^e convention : (2+3)/2=2.5

1^re convention : 20

2^e convention : (20+21)/2=20.5

1^re convention : 6

2^e convention : (6+7)/2=6.5

Question

Déterminez les pivots gauche et droit, ainsi que les valeurs adjacentes gauche et droite pour chacune des 2 distributions observées :

	Avant les travaux	Après les travaux

Solution

Nous utiliserons ici les quartiles obtenus selon la 1^re convention (l'adaptation au cas où l'on a déterminé les quartiles selon la 2^e convention est immédiate).

Rappelons-nous que :

;
;
(extrémité de la moustache gauche) est le plus petit retard observé supérieur ou égal à ;
(extrémité de la moustache droite) est le plus grand retard observé inférieur ou égal à .

	Avant les travaux	Après les travaux
	12-(1.5)4=6	3-(1.5)2=0
	16+(1.5)4=22	5+(1.5)2=8
	6	2
	22	7

Question

Dessinez les boîtes à moustaches (version modifiée) associées aux 2 distributions observées.

Solution

Rappelons-nous que :

tout retard observé strictement inférieur à est une valeur extérieure à gauche ;
tout retard observé strictement supérieur à est une valeur extérieure à droite.

La D.O.1 « avant les travaux » possède dès lors deux valeurs extérieures à gauche : 3 et 4. La D.O.1 « après les travaux » possède une valeur extérieure à droite : 11.

Les boîtes à moustaches

Question

A partir des quantiles calculés précédemment et des boîtes à moustaches dessinées, comparez les retards avant et après travaux. Soyez le plus complet possible dans votre comparaison.

Solution

Les retards avant les travaux sont globalement bien plus importants qu'après les travaux. Ainsi, par exemple, le premier quartile vaut 12 minutes avant les travaux et est donc plus élevé que le retard le plus important (11 minutes) relevé après les travaux. Le retard médian est de 13 minutes avant les travaux ; il n'est que de 4 minutes après les travaux. 75% des retards ne dépassent pas 5 minutes après les travaux alors qu'avant ceux-ci, 75% des retards dépassaient 12 minutes. Avant les travaux, les retards étaient généralement supérieurs ou égaux à 6 minutes, alors qu'après les travaux les retards ne dépassent plus 7 minutes (sauf cas extrême).

Si les travaux se sont montrés efficaces pour la réduction de l'importance des retards, ils ont également permis d'en réduire fortement la dispersion. Ainsi, avant les travaux, les retards (en dehors des valeurs extérieures) allaient de 6 à 22 minutes, alors qu'ils ne varient plus qu'entre 2 et 7 minutes après les travaux. L'écart interquartile est passé de 4 à 2 minutes ; l'écart interdécile est passé de 16 à 4 minutes. On observe également une forte réduction de la longueur des moustaches gauche et droite.

Accueil

Imprimer