Exercice (mesures d'asymétrie)
[Tailles de ménages]
Une enquête menée auprès de 1500 ménages d'une certaine région géographique rurale s'est intéressée à la variable
correspondant à la taille du ménage, c'est-à-dire au nombre de personnes constituant le ménage. Les données recueillies peuvent être présentées sous la forme du diagramme en bâtons suivant.
La boîte à moustaches associée à cette D.O.1 est représentée ci-dessous.
On a par ailleurs déterminé que la taille moyenne des 1500 ménages était égale à 2.67 et que la variance des tailles des ménages s'élevait à 2.27.
Le diagramme en bâtons et la boîte à moustaches mettent clairement en évidence une asymétrie gauche de la D.O.1. Mesurons à présent la force de cette asymétrie à l'aide des trois coefficients d'asymétrie que nous avons étudiés.
Vous pouvez télécharger le fichier de données en format Excel.
Distribution observée des tailles de 1500 ménages d'une région géographique rurale
Question
Déterminez le coefficient d'asymétrie de Fisher
Le tableau ci-après reprend le détail des calculs :
Taille du ménage
| Effectif
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|
1 | 380 | -1.67 | -4.6575 | -1769.8359 |
2 | 455 | -0.67 | -0.3008 | -136.8472 |
3 | 245 | 0.33 | 0.0359 | 8.8046 |
4 | 230 | 1.33 | 2.3526 | 541.1065 |
5 | 100 | 2.33 | 12.6493 | 1264.9337 |
6 | 75 | 3.33 | 36.9260 | 2769.4528 |
7 | 10 | 4.33 | 81.1827 | 811.8274 |
8 | 5 | 5.33 | 151.4194 | 757.0972 |
Total | 1500 | 4246.5390 |
Le moment centré d'ordre 3 vaut :
L'écart-type
est égal à la racine carrée de la variance, soit
Le coefficient d'asymétrie de Fisher est donc égal à
Question
Question
Comme nous pouvions nous y attendre au vu de l'asymétrie gauche, les trois coefficients d'asymétrie sont positifs. Il ne faut pas s'étonner qu'ils n'aient pas la même valeur, puisqu'ils ne mesurent pas l'asymétrie de la même façon.
