Transformation linéaire - Changement d'origine et d'unité
Changement d'origine
Le changement d'origine est le cas le plus simple d'une transformation linéaire.
Exemple :
Considérons la série statistique relative aux bénéfices réalisés par une société spécialisée en librairie au cours de 8 semaines successives comportant toutes le même nombre de jours ouvrables (ces semaines sont notées
).
Si le directeur s'est fixé un « bénéfice-type » de
euros par semaine, il sera intéressé par l'écart entre le bénéfice réellement observé
et cette valeur. Notons par
cet écart (
).
Un écart négatif signifie qu'il y a manque à gagner. Au contraire, un écart positif donne de la réserve.
La série
est obtenue à partir de la série
au moyen d'un changement d'origine défini par la relation :
.
On s'est en réalité choisi une nouvelle origine, un nouveau point « zéro » sur l'échelle de mesure. En effet, l'origine (le zéro) de l'échelle de mesure des écarts correspond à un bénéfice réalisé de
euros.
Définition :
Appliquer un changement d'origine sur la série statistique
consiste à la transformer en la série statistique
telle que
où
est une constante réelle (
).
Remarque :
Effectuer un changement d'origine a simplement pour effet de translater (« faire glisser en bloc ») les valeurs observées
sur l'échelle de mesure, sans rien modifier à leur dispersion.
Changement d'unité
Une deuxième transformation linéaire importante consiste à effectuer un changement d'unité.
Exemple :
Dans le même exemple, on peut vouloir exprimer le bénéfice en milliers d'euros. Il suffit de diviser toutes les valeurs observées par
. Le tableau ci-dessous contient les données transformées
, où
.
On s'est en réalité choisi une nouvelle unité de mesure des bénéfices : l'unité choisie (le millier d'euros) pour exprimer le bénéfice
est égale à
fois l'unité utilisée (l'euro) pour exprimer le bénéfice
.
Définition :
Appliquer un changement d'unité sur la série statistique
consiste à la transformer en la série statistique
telle que
où
est une constante réelle strictement positive (
). L'unité dans laquelle s'expriment les observations transformées
est égale à
fois l'unité dans laquelle s'expriment les observations initiales
.
Remarque :
Un changement d'unité affecte à la fois la position et la dispersion des observations sur l'échelle de mesure.
Changement d'origine et d'unité
On peut aussi décider de prendre conjointement une nouvelle origine et une nouvelle unité. Dans ce cas, on réalise une transformation linéaire des données, appelée changement d'origine et d'unité.
Définition :
Appliquer un changement d'origine et d'unité sur la série statistique
consiste à la transformer en la série statistique
telle que
où
est une constante réelle (
) et
est une constante réelle strictement positive (
).
Exemple :
Le directeur estime qu'un bénéfice ne devient particulièrement intéressant que s'il dépasse l'objectif de
euros de plus de
euros. De même, il ne commence à s'inquiéter que si le bénéfice réalisé se situe à plus de
euros en dessous de cet objectif. Pour prendre en compte cette situation, il effectue simultanément un changement d'origine (il prend
euros comme nouvelle origine) et un changement d'unité (il choisit
euros comme nouvelle unité), ce qui l'amène à considérer les valeurs
.
Considérons la série statistique
et la série statistique
obtenue par le changement d'origine et d'unité défini par la relation
Quelles sont les relations liant les mesures de position, de dispersion et de forme de la série des
à celles de la série des
?
Complément : Impact d'un changement d'origine et d'unité sur les mesures de position
Notons
,
,
,
et
,
,
,
la moyenne, la médiane, le quantile d'ordre
et le mode des séries statistiques
et
, respectivement.
Les relations suivantes sont évidentes :
|
|
|
On vérifie également que
|
En effet,
En conclusion, les mesures de position subissent la même transformation linéaire que les observations elles-mêmes.
Complément : Impact d'un changement d'origine et d'unité sur les mesures de dispersion
Notons
,
,
,
,
,
,
et
,
,
,
,
,
,
la variance, l'écart-type, l'étendue, l'écart interquartile, l'écart interdécile, l'écart moyen absolu et l'écart médian absolu des séries statistiques
et
, respectivement.
On vérifie aisément que
|
|
|
En effet, par exemple,
On a également
|
|
En effet, par exemple,
Enfin, on a les relations
|
|
En effet,
Ces différentes relations montrent clairement que la dispersion de la série statistique n'est pas affectée par le changement d'origine ; seul le changement d'unité affecte la dispersion de la série.
Complément : Impact d'un changement d'origine et d'unité sur les mesures de forme
On vérifie aisément qu'un changement d'origine et d'unité n'a aucun effet sur les mesures de forme (mesures d'asymétrie et d'aplatissement) ; en d'autres termes, toute mesure de forme calculée sur les
(
) prend la même valeur que si elle était calculée sur les
.
Complément : Centrage et réduction des données
Considérons la série statistique
de moyenne
et d'écart-type
. Appliquons-lui le changement d'origine et d'unité particulier suivant :
La moyenne des
(
) est égale à
; la variance des
est égale à
. Les observations
sont des valeurs sans dimension, centrées (de moyenne nulle) et réduites (de variance égale à 1). Ce changement d'origine et d'unité particulier est fréquemment utilisé en statistique, dans diverses méthodes.
