Les quantiles d'une D.G.1
Dans le cas où on a une D.G.1, mais qu'on ne dispose plus de la série statistique qui a permis sa construction, on ne peut plus déterminer les quantiles de manière exacte. On peut cependant obtenir des valeurs approchées à partir de la courbe cumulative des effectifs ou des fréquences.
Méthode :
On prend comme valeur approchée du quantile d'ordre
(
) la valeur
telle que
ou
Deux étapes sont nécessaires pour déterminer la valeur de
:
Etape 1 : détermination de la classe contenant
La classe contenant
est la classe
si et seulement si (en termes d'effectifs cumulés)
est la première classe dont l'effectif cumulé est supérieur ou égal à
:
(avec
si
)
càd (en termes de fréquences cumulées)
est la première classe dont la fréquence cumulée est supérieure ou égale à
:
(avec
si
).
Etape 2 : Détermination de la valeur de
dans la classe
A partir de la courbe cumulative des effectifs :
A partir de la courbe cumulative des fréquences :
Exemple : Tailles (suite)
Recherchons le premier quartile
de la distribution groupée des tailles des 175 étudiants.
Au vu du tableau de la D.G.1 et du graphique ci-dessus, il est clair que
C'est d'ailleurs aussi la conclusion à laquelle on aboutit en regardant la courbe cumulative des fréquences ci-dessous.
La valeur de
est donnée par
Remarque :
La valeur exacte du 1er quartile de la série statistique constituée des 175 tailles est égale à
Il y a donc peu de différence entre la valeur exacte et la valeur approchée (obtenue en considérant la D.G.1 en 5 classes) du 1er quartile.
Remarque : Interprétation graphique d'un quantile
La surface totale sous l'histogramme des effectifs est égale à
, le nombre total d'observations. On a, à gauche du premier quartile
, exactement 25% de la surface totale sous l'histogramme, soit une surface égal à
De manière similaire, la surface totale sous l'histogramme des fréquences est égale à 1 et la surface sous cet histogramme à gauche du premier quartile
est exactement égale à 0.25 (1/4).
De manière générale, la surface à gauche du quantile
d'ordre
sous l'histogramme des effectifs est égale à
; la surface à gauche de
sous l'histogramme des fréquences est égale à
