La médiane d'une D.O.1
Première convention
Selon la première convention, la médiane
est l'observation occupant la
-ème position dans la série statistique ordonnée (l'observation de rang
).
Voyons, à partir de trois exemples légèrement différents, comment mettre en œuvre cette première convention lorsque les données sont présentées sous la forme d'une D.O.1.
Exemple : n est pair et un des effectifs cumulés de la D.O.1 est égal à n/2
Considérons la série statistique ordonnée de taille
suivante :
La médiane est
.
Raisonnons à présent sur la D.O.1 associée à cette série statistique :
On s'aperçoit que la valeur 1, notre médiane, a pour caractéristique d'être la valeur observée à laquelle est associé un effectif cumulé égal à
. On a donc ici exactement la moitié des observations avec des valeurs inférieures ou égales à la médiane et l'autre moitié des observations avec des valeurs strictement supérieures à la médiane.
Exemple : n est pair et aucun des effectifs cumulés de la D.O.1 n'est égal à n/2
Considérons la série statistique ordonnée de taille
suivante :
La médiane est
.
Raisonnons à présent sur la D.O.1 associée à cette série statistique :
Aucun des effectifs cumulés n'est égal à
. Mais on s'aperçoit que la valeur
, notre médiane, a pour caractéristique d'être la plus petite valeur observée dont l'effectif cumulé est supérieur à
. On a ici un peu plus de la moitié des observations (6 observations parmi les 10) qui ont une valeur inférieure ou égale à la médiane.
Exemple : n est impair
Considérons la série statistique ordonnée de taille
suivante :
La médiane est
Regardons à présent la D.O.1 associée à cette série statistique :
Aucun des effectifs cumulés n'est égal à
Mais, à nouveau, la valeur
, notre médiane, a pour caractéristique d'être la plus petite valeur observée dont l'effectif cumulé est supérieur à
Méthode :
La détermination de la médiane d'une D.O.1 se fait à partir des effectifs cumulés associés aux valeurs distinctes observées :
s'il existe une valeur
telle que
, alors
;si aucun des effectifs cumulés n'est égal à
, alors la médiane
est égale à la plus petite valeur observée dont l'effectif cumulé est
; en d'autres termes, la médiane
est égale à la valeur
telle que
De manière plus synthétique, quelle que soit la D.O.1 rencontrée :
est égale à la valeur
telle que
Ainsi, la médiane est la plus petite valeur observée dont l'effectif cumulé est supérieur ou égal à
Complément :
La médiane d'une D.O.1 peut tout aussi bien être déterminée à partir des fréquences cumulées associées aux valeurs distinctes observées :
est égale à la valeur
telle que
En d'autres termes, la médiane est la plus petite valeur observée dont la fréquence cumulée est supérieure ou égale à
Complément :
Plutôt que de raisonner sur le tableau de la D.O.1, on peut déterminer graphiquement la médiane à partir de la courbe cumulative des effectifs ou des fréquences.
Seconde convention
Dans le cas où aucun des effectifs cumulés de la D.O.1 n'est égal à
, la détermination de la médiane à partir de la D.O.1 se fait de la même manière avec les deux conventions : la médiane
est égale à la plus petite valeur observée dont l'effectif cumulé est supérieur à
. Ce n'est donc que lorsqu'un des effectifs cumulés de la D.O.1 est égal à
que la seconde convention diffère de la première convention.
Exemple : n est pair et un des effectifs cumulés de la D.O.1 est égal à n/2 (suite)
Considérons à nouveau la série statistique ordonnée de taille
suivante :
La médiane est
Raisonnons à présent sur la D.O.1 associée à cette série statistique :
correspond à l'effectif cumulé associé à la valeur
. Dans ce cas, la médiane
coïncide avec la moyenne de cette valeur
et de la valeur
qui la suit.
Méthode :
La détermination de la médiane d'une D.O.1 se fait à partir des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées associé(e)s aux valeurs distinctes observées :
si aucun des effectifs cumulés n'est égal à
(ou si aucune des fréquences cumulées n'est égale à
), alors la médiane
est égale à la valeur
telle que
(en posant
si
) ou encore, de manière équivalente, si
(en posant
si
) ;s'il existe une valeur
telle que
(
), alors
Complément :
Plutôt que de raisonner sur le tableau de la D.O.1, on peut déterminer graphiquement la médiane à partir de la courbe cumulative des effectifs ou des fréquences.
